Steigung bzw. 1. Ableitung
an der Hyperbel mit
f(x)=1/x²

mit x->a - Methode:
ms(x)
= (1/x² - 1/a²) / (x-a)
= ((a²-x²)/(x²a²)) / (x-a)
= (-(x²-a²)/(x²a²)) / (x-a)
= (-(x-a)(x+a))/(x²a²) / (x-a)
= (-(x-a)(x+a)) / (x²a²)(x-a)
= -(x+a) / x²a²

f'(a) = mt(a)
= -(a+a) / a²a²
= -2a / a^4
= -2 / a³

oder mit h->0 - Methode:
ms(h)
= (1/(a+h)² - 1/a²) / (a+h-a)
= ((a²-(a+h)²)/(a+h)²a²) / h
= ((a²-a²-2ah-h²)/(a+h)²a²) / h
= ((-2ah-h²)/(a+h)²a²) / h
= (-2ah-h²) / ((a+h)²a²h)
= (h(-2a-h)) / ((a+h)²a²h)
= (-2a-h) / ((a+h)²a²)

f'(a) = mt(a)
= (-2a) / (a²a²)
= -2 / a³

a) Wie groß ist die Steigung an der Stelle a=2?
f'(2) = -2/8 = -1/4
An der Stelle a=2 ist die Steigung vom Wert -0,25.

b) An welcher Stelle ist die Steigung vom Wert 2?
f'(a)=2 <=> -2/a³=2 <=> 2a³=-2 <=> a³=-1 <=> a=-1
An der Stelle a=-1 ist die Steigung vom Wert 2.